Nació el 10 de mayo de 1882 en la parroquia de Manduas, en el ayuntamiento de Silleda. Sus padres fueron Francisco Dopazo y Dolores Gontade, ambos labriegos y naturales de la misma parroquia. Aprendió a tocar la gaita de niño. En 1892, con tan sólo 10 años de edad, se presentó a un concurso de gaitas en Santiago de Compostela en compañía de un vecino, obteniendo un premio honorífico. Dos años más tarde, en 1894, se presentó de nuevo y llevó el primer premio. Tenía 19 años en 1902 cuando, huyendo del servicio militar, escapa con su joven Margarita Perfecta Collazo, natural de Bandeira (Silleda), escondidos en un barco con rumbo a la Argentina.

Una vez en destino, alquilaron un cuarto en un hotel de la céntrica calle Tacuarí y Manuel comenzó a trabajar como friega platos. A los pocos días conoció en un bar próximo a un representante musical que lo contrató para tocar por el interior del país, por lo que dejó el trabajo conseguido y comenzó a dedicarse de lleno a la gaita. Puesto que salió de Galicia con lo imprescindible, el representante tuvo que equiparlo de una gaita y adelantarle dinero para que comprase ropa adecuada. La relación de dependencia estabelcida duró poco tiempo ya que Dopazo advirtió que él mismo podía conseguir las actuaciones, mejorando sus ingresos.

De esta manera, comenzó a promocionarse enviando cartas a las instituciones españolas, presentándose como "Gaitero recién llegado de España ofrece sus servicios". En 1906 casó con Margarita, con la que tuvo once hijos. Se mudaron a una casa del barrio de Barracas, en la calle Ituzaingó 751, y luego la otra en Uspallata 839, del mismo barrio, domicilio en el que residió hasta su muerte.

Su carrera estuvo marcada por el éxito y la fama, dado el virtuosismo con el que manejaba la gaita. Los que lo conocieron afirman que tenía muy buena afinación, que requintaba y picaba las notas de una manera particular, además de cantar y tocar al mismo tiempo, artes que pocos gaiteros supieron desarrollar. Tocó como solista, acompañándose por sus numerosos hijos y, desde los años 40, también con su conjunto "Los Gaiteros de Vilaverde".

Fue requerido para tocar con el Coro Agarimos, con el Coro Os Rumorosos del Centro Betanzos, la Coral del Centro Gallego, en gran número de entidades gallegas, asturianas y españolas en general, así como en importantes entidades porteñas como Casa Suiza, Federación de Empleados de Comercio, La Argentina, Teatro Maravillas, Teatro Avenida, Teatro Mayo, etc.

Dopazo era convidado frecuentemente al popular programa de radio "Recordando a Galicia", dirigido por Maruxa Boga y Alfredo Aróstegui. Grabó numerosos discos y participó en la música incidental de dos películas: Cándida (Luis Bayón Herrera, 1939, EFA), con Niní Marshall y Juan Carlos Thorry, y La calle junto la la luna (Román Viñoly Barreto, 1951, Emelco), con Narciso Ibáñez Menta y Enrique Serrano. En ambas interviene en escenas festivas y en breves pasajes de sus bandas sonoras.

También destacó en la fabricación de gaitas, oficio que aprendió en la Argentina. Viajó una sola vez a Galicia, en 1923, para visitar a su madre, junto con su primogénito, Antonio. Al regreso de una actuación del 12 de octubre de 1951 en una romería en San Francisco (Córdoba), enfermó gravemente de los pulmones, dejó de tocar, y seis meses más tarde, el 28 de abril de 1952, falleció en Buenos Aires a los 70 años. Su deceso produjo un hondo pesar en la colectividad, publicándose abundantes y sentidas notas necrológicas. Sus restos descansan en el panteón de la Sociedad Argentina de Autores y Compositores (SADAIC) en el Cementerio del Oeste, en el barrio porteño de Chacarita.